证明分子不能被分母整除的都是循环小数

Question

证明分子不能被分母整除的都是循环小数

Answer 1

楼主你好!
这道题需要证明的是：
如果分子不能被分母除尽,则此分数的小数形式是无限循环小数.
这个证明就包括了两个要点：
1、分数的小数形式不是有限小数
2、分数的小数形式不是无限不循环小数.

我们都知道,分数只有三种形式,即有限小数,无限不循环小数和无限循环小数.如果排除了前两个,那么自然就证明出来第三个了.

下面就证明上面的两个要点
1、小数形式不是有限小数
这个比较好证明.从反方面（逆否命题）来证明:如果分数的小数形式是有限小数,那么分数分子能够被分母除尽.
若是有限小数,那么一定可以写成整数除以10000000（若干个零）00的形式.也就是说,这个分数的分子可以被分母除尽.
这个就命题就证明出来了

2、分数的小数形式不是无限不循环小数.
命题：分数不会出现无限不循环小数.
我们可以从整数除法的过程中来看看这个问题：
若存在一个无限不循环小数,可以表示成为最简分数p/q
那么,用p除q,是除不尽的,且得到的小数是无限不循环的.
我们从整数除法当中来看除的过程.
除到某一位时,商位k,余数为r.这个余数一定是有限的（比如,10以内,或100以内,或1000以内.由q的条件决定）
那么在下面的除法时,不能再出现这个余数（一旦出现,则结果就回进入循环.）
但是余数是有限的,其上限也是有限的,如10以内,那么余数的出现无非这10个数字,即,不可能出现无限的不同的余数.
所以,分数是一定会进入循环的.
命题得证：分数不会出现无限不循环小数.

综上所述,如果一个分数的分子不能被分母除尽,则此分数的小数形式必为无限循环小数