某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后

Question

某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；
（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

附：K²=(n(ad-bc)2)/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))．

Answer 1

（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，
分数小于等于110分的学生中，
男生人有60×0.05=3（人），记为A₁，A₂，A₃；
女生有40×0.05=2（人），记为B₁，B₂；…（2分）
从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₂，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂）；
其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），
（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂）；…（4分）
故所求的概率为P=(6)/(10)=(3)/(5)…（6分）
（2）由频率分布直方图可知，
在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…（7分）
据此可得2×2列联表如下：

	数学尖子生	非数学尖子生	合计
男生	15	45	60
女生	15	25	40
合计	30	70	100

（9分）
所以得K²=(n(ad-bc)2)/((a+b)(c+d)(a+c)(b+d))=(100×(15×25-15×45)2)/(60×40×30×70)≈1.79；…（11分）
因为1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…（12分）