一道高等数学题,关于曲面积分.设半径为R的求,其球心在半径为a的定球面上,试证当前者夹在定球面内部的表面积S为最大时,R=3/4a

Question

一道高等数学题,关于曲面积分.
设半径为R的求,其球心在半径为a的定球面上,试证当前者夹在定球面内部的表面积S为最大时,R=3/4 a

Answer 1

设半径为R的球,其球心在半径为a的定球面上,试证当前者夹在定球面内部的表面积S为最大时,R=(3/4)a

此题无需用曲面积分.

夹在定球面内部的表面是一个球冠.设此球冠的高为h,利用简单的几何关系可求得h的表达式.

如图：R²-(R-h)²=a²-[a-(R-h)]²,展开化简得R²-2aR+2ah=0,故h=(2aR-R²)/2a；

球冠的表面积(不含底面积)=2πRh=2πR(2aR-R²)/2a=2πR²-πR³/a；

令dS/dR=4πR-3πR²/a=πR(4-3R/a)=0,得4-3R/a=0,故得极大点R=(3/4)a.

即当R=(3/4)a时球内所含球冠的表面积最大,最大值Smax=2π(9a²/16)-(π/a)(27a³)/64=(45/64)πa²