如图,AP平分∠MAB,BP平分∠ABN （1）若∠MOP=90°,求∠P的度数 （2）求∠MON与∠P的关系第（2）题不用外角定理

Question

如图,AP平分∠MAB,BP平分∠ABN （1）若∠MOP=90°,求∠P的度数 （2）求∠MON与∠P的关系
第（2）题不用外角定理

Answer 1

（1）∵∠BAM是△AOB的外角
∴∠BAM=∠AOB+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠AOB+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=（∠AOB+∠ABO+∠BAO）+∠AOB=180°+90°=270°
∵AP平分∠MAB,BP平分∠ABN
∴∠BAP=1/2 ∠BAM,∠ABP=1/2 ∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=1/2（∠BAM+∠ABN）=135°
在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°
∴∠P=180°-135°=45°；
（2）∠MON+2∠P=180°
∵∠BAM是△AOB的外角
∴∠BAM=∠MON+∠ABO
∵∠ABN是△AOB的外角
∴∠ABN=∠MON+∠BAO
∴∠BAM+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠MON+∠BAO=（∠MON+∠ABO+∠BAO）+∠MON=180°+∠MON
∵AP平分∠MAB,BP平分∠ABN
∴∠BAP=1/2∠BAM,∠ABP=1/2∠ABN
∴∠BAP+∠ABP=1/2（∠BAM+∠ABN）=1/2（180°+∠MON）
在△ABP中
∠BAP+∠ABP+∠P=180°
1/2（180°+∠MON）+∠P=180°
∴∠MON+2∠P=180°．