设函数f（x）=（x-a）2+（lnx2-2a）2，其中x>0，a∈R，存在x0使得f（x0）≤b成立，则实数b的最小值为（）A.15B.25C.45D.1

Question

设函数f（x）=（x-a）²+（ln x²-2a）²，其中x>0，a∈R，存在x₀使得f（x₀）≤b成立，则实数b的最小值为（　　）

A.

(1)/(5)

B.

(2)/(5)

C.

(4)/(5)

D. 1

Answer 1

函数f（x）可以看作动点P（x，ln x²）与点Q（a，2a）的距离的平方，点P在曲线y=2ln x上，点Q在直线y=2x上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由y=2ln x求导可得y′=(2)/(x)，令y′=2，解得x=1，此时y=2ln 1=0，则M（1，0），所以点M（1，0）到直线y=2x的距离d=(2)/(√(22+(-1)2))=(2√(5))/(5)即为直线与曲线之间最小的距离，故f（x）_min=d²=(4)/(5)．
由于存在x₀使得f（x₀）≤b，则f（x）_min≤b，即b≥(4)/(5)，
故选：C．