开始黑板上写着一个正整数．每一步都可以按照下面的规则,替换黑板上写着的数：若写着的数是某两个正整数之和,则擦掉写着的数,并写上这两个正整数之积．例如,若某步黑板写着的数为7

Question

开始黑板上写着一个正整数．每一步都可以按照下面的规则,替换黑板上写着的数：若写着的数是某两个正整数之和,则擦掉写着的数,并写上这两个正整数之积．例如,若某步黑板写着的数为7 ,因为7=2+5,10=2x5,那么可以擦掉7,写上10．
哪些正整数作为最开始的数,能在有限步之后,替换成2013?

Answer 1

2013=3*671=3*11*61=33*61
61+33=94
94=2*47
2+47=49
49=7*7
7+7=14
14=2*7
2+7=9
9=3*3
3+3=6
6=2*3
2+3=5
5=1*5
1+5=6
由此看出,从5、6、9出发,都可以在有限步之后达到2013
另外,从49分支
49=1*49
1+49=50
50=2*25
2+25=27
27=3*9
3+9=12
12=3*4
3+4=7
7=1*7
1+7=8
所以,7、8也可以.
如果从4开始
则4=1+3=2+2
1*3=3
2*2=4
3=1+2
1*2=2
2=1+1
1*1=1
1=1+0与条件不符,由此看出,最少也要从5开始
而且,任意正整数a,满足a≥2时
a=1+(a-1)
1*(a-1)=a-1
则都可以向下递推
说得明白一些,如果从20开始,就可以递推到5,因为从5开始是可以得到2013的,由此可见,从5开始任意正整数都满足条件.