已知函数f（x）=ax+lnx-3有两个零点x1，x2（x1<x2）（Ⅰ）求证：0<a<e2（Ⅱ）求证：x1+x2>2a．

Question

已知函数f（x）=(a)/(x)+lnx-3有两个零点x₁，x₂（x₁<x₂）
（Ⅰ）求证：0<a<e²
（Ⅱ）求证：x₁+x₂>2a．

Answer 1

证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=(x-a)/(x2)，
①a≤0时，f′（x）≥0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
不可能有2个零点；
②a>0时，在区间（0，a）上，f′（x）<0，在区间（a，+∞）上，f′（x）>0，
∴f（x）在区间（0，a）递减，在区间（a，+∞）递增；
f（x）的最小值是f（a）=lna-2，
由题意得：有f（a）<0，则0<a<e²；
（Ⅱ）要证x₁+x₂>2a，只要证x₂>2a-x₁，
易知x₂>a，2a-x₁>a，
而f（x）在区间（a，+∞）递增，
∴只要证明f（x₂）>f（2a-x₁），
即证f（x₂）>f（2a-x₁），
设函数g（x）=f（x）-f（2a-x），
则g（a）=0，且区间（0，a）上，
g′（x）=f′（x）+f′（2a-x）=(-4a(a-x)2)/(x2(2a-x)2)<0，
即g（x）在（0，a）递减，
∴g（x₁）>g（a）=0，
而g（x₁）=f（x₁）-f（2a-x₁）>0，
∴f（x₂）>f（2a-x₁）成立，
∴x₁+x₂>2a．