在一个平面上有5个点,其中任意三点都不在同一直线上.通过每两点作一条直线.如果所做的直线没有任何两条相互平行的话,那么这些相互交叉的直线的交点共有多少

Question

在一个平面上有5个点,其中任意三点都不在同一直线上.通过每两点作一条直线.如果所做的直线没有任何两条相互平行的话,那么这些相互交叉的直线的交点共有多少

Answer 1

懒得画图了,直接说过程.
假设5个点分别是ABCDE,那么所构成的直线一共有10条.当两条直线有一个公共字母时,例如AB和AC,他们一定相交与点A,所以首先我们先不算ABCDE这5个交点,来看那些没有公共字母的直线,也就是例如AB和CD这样的直线.也就是说从5个字母中任选4个,这样一共有5种情况.然后在这选中的4个字母中,两两分组,一共有C^2_4 /2 种情况.（C^2_4表示排列组合中的组合数,从4个当中任选2个,但是由于选定2个后,剩下一组已经确定,所以要除以2,例如选AB,则剩下CD；当选CD时,剩下AB,而这了两种情况是重复的,所以除2.）
所以结果就是：5*C^2_4/2=5*（3*4/2）/2 =15
所以除了ABCDE这5个交点外还有15个交点.所以一共有20个.
如果一定要画图的话,就是一个大五角星中间有个五边形,内部再有个小五角星,中间的五边形就是ABCDE.这样就有15个点了,剩下五个点则是对角线跟边的交点,例如AC和ED的交点之类的,一共有五个(五条对角线).