怎样用向量方法证明平行四边形对角线互相平分?

Question

怎样用向量方法证明平行四边形对角线互相平分?

Answer 1

设ABCD为平行四边形,其对角线AC与BD相较于O点.
用向量法证明BO=OD,AO=OC.
证：由平时四边形的性质,O点是BD和AC的中点.
向量BO=(1/2)(向量BA+向量BC),
向量DO=(1/2)(向量DA+向量DC).
向量BO+向量DO=(1/2)(向量BA+向量DC+向量DA+向量BC).
=(1/2)(-向量AB+向量DC-向量AD+向量BC).
∵向量AB=向量DC,向量AD=向量BC,
∴向量BO+向量DO=0(向量）.
又,向量DO=-向量OD.
即,向量BO-向量OD=0.
∴向量BO=向量OD.
∴|向量BO|=|向量OD|.
∴BO=OD.
同理,可用向量证明：AO=OC.（过程从略）.
即平行四边形的对角线互相平分.