已知⊙O与⊙O′内切于点A，⊙O的弦BC与⊙O′切于点D，AB、AC与⊙O′分别交于点E、F，AG、EH为⊙O′直径，BO延长线交GH于点M．（1）证明：BEHM为平行四边形；（2）若AF=3，HM=1，求DE的长．

Question

已知⊙O与⊙O′内切于点A，⊙O的弦BC与⊙O′切于点D，AB、AC与⊙O′分别交于点E、F，AG、EH为⊙O′直径，BO延长线交GH于点M．
（1）证明：BEHM为平行四边形；
（2）若AF=3，HM=1，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵⊙O与⊙O′内切于点A，
∴点O、O′、A共线．
∵O′A=O′E，OA=OB，
∴∠AEO′=∠EAO′=∠ABO．
∴EH∥BM．
∵O′G=O′H，∴∠O′HG=∠O′GH．
∵∠AEH=∠AGH，∴∠AEH=∠O′HG．
∴AB∥GH．
∴BEHM为平行四边形．

（2）过点A作两圆的公切线PQ，连接AD、DF，如图所示．
则根据弦切角定理可得：∠ABC=∠PAC，∠PAF=∠ADF．
∴∠ABC=∠ADF．
由圆内接四边形的性质可得：∠BED=∠AFD．
∴△BED∽△DFA．
∴(ED)/(FA)=(BE)/(DF)，∠BDE=∠DAF．
∵BC与⊙O′切于点D，
∴根据弦切角定理可得：∠BDE=∠EAD．
∴∠EAD=∠DAF．
∴

DE

=

DF

．
∴DE=DF．
∵BEHM为平行四边形，∴BE=MH．
∵AF=3，BE=HM=1，
∴(ED)/(3)=(1)/(DE)．
解得：DE=√(3)．
∴DE的长为√(3)．