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已知⊙O与⊙O′内切于点A,⊙O的弦BC与⊙O′切于点D,AB、AC与⊙O′分别交于点E、F,AG、EH为⊙O′直径,BO延长线交GH于点M.(1)证明:BEHM为平行四边形;(2)若AF=3,HM=1,求DE的长.
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已知⊙O与⊙O′内切于点A,⊙O的弦BC与⊙O′切于点D,AB、AC与⊙O′分别交于点E、F,AG、EH为⊙O′直径,BO延长线交GH于点M.
(1)证明:BEHM为平行四边形;
(2)若AF=3,HM=1,求DE的长.
(1)证明:BEHM为平行四边形;
(2)若AF=3,HM=1,求DE的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵⊙O与⊙O′内切于点A,
∴点O、O′、A共线.
∵O′A=O′E,OA=OB,
∴∠AEO′=∠EAO′=∠ABO.
∴EH∥BM.
∵O′G=O′H,∴∠O′HG=∠O′GH.
∵∠AEH=∠AGH,∴∠AEH=∠O′HG.
∴AB∥GH.
∴BEHM为平行四边形.
(2)过点A作两圆的公切线PQ,连接AD、DF,如图所示.
则根据弦切角定理可得:∠ABC=∠PAC,∠PAF=∠ADF.
∴∠ABC=∠ADF.
由圆内接四边形的性质可得:∠BED=∠AFD.
∴△BED∽△DFA.
∴
=
,∠BDE=∠DAF.
∵BC与⊙O′切于点D,
∴根据弦切角定理可得:∠BDE=∠EAD.
∴∠EAD=∠DAF.
∴
=
.
∴DE=DF.
∵BEHM为平行四边形,∴BE=MH.
∵AF=3,BE=HM=1,
∴
=
.
解得:DE=
.
∴DE的长为
.
∴点O、O′、A共线.
∵O′A=O′E,OA=OB,
∴∠AEO′=∠EAO′=∠ABO.
∴EH∥BM.
∵O′G=O′H,∴∠O′HG=∠O′GH.
∵∠AEH=∠AGH,∴∠AEH=∠O′HG.
∴AB∥GH.
∴BEHM为平行四边形.
(2)过点A作两圆的公切线PQ,连接AD、DF,如图所示.
则根据弦切角定理可得:∠ABC=∠PAC,∠PAF=∠ADF.
∴∠ABC=∠ADF.
由圆内接四边形的性质可得:∠BED=∠AFD.
∴△BED∽△DFA.
∴
ED |
FA |
BE |
DF |
∵BC与⊙O′切于点D,
∴根据弦切角定理可得:∠BDE=∠EAD.
∴∠EAD=∠DAF.
∴
DE |
DF |
∴DE=DF.
∵BEHM为平行四边形,∴BE=MH.
∵AF=3,BE=HM=1,
∴
ED |
3 |
1 |
DE |
解得:DE=
3 |
∴DE的长为
3 |
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