若对于曲线f（x）=-ex-x上任意点处的切线l1，总存在g（x）=2ax+sinx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是．

Question

若对于曲线f（x）=-e^x-x上任意点处的切线l₁，总存在g（x）=2ax+sinx上一点处的切线l₂，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围是___．

Answer 1

f（x）=-e^x-x的导数为f′（x）=-e^x-1，
设（x₁，y₁）为f（x）上的任一点，
则过（x₁，y₁）处的切线l₁的斜率为k₁=-e^x₁-1，
g（x）=2ax+sinx的导数为g′（x）=2a+cosx，
过g（x）图象上一点（x₂，y₂）处的切线l₂的斜率为k₂=2a+cosx₂．
由l₁⊥l₂，可得（-e^x₁-1）•（2a+cosx₂）=-1，
即2a+cosx₂=(1)/(ex1+1)，
任意的x₁∈R，总存在x₂∈R使等式成立．
则有y₁=2a+cosx₂的值域为A=[2a-1，2a+1]．
y₂=(1)/(ex1+1)的值域为B=（0，1），
有B⊆A，即（0，1）⊆[2a-1，2a+1]．
即

2a-1≤0

2a+1≥1

，
解得0≤a≤(1)/(2)．
故答案为：[0，(1)/(2)]．