能否找到N+的一个二分划(A,B)满足1)A中不存在三个成等比数列的数.2)B中不存在无穷等比数列.

Question

能否找到N+的一个二分划(A,B)满足1)A中不存在三个成等比数列的数.2)B中不存在无穷等比数列.

Answer 1

应该不能吧,这种数论题不在我能力范围之内.

下面是我的一点拙见.
首先,A中存在无穷个数（否则,令A中最大的完全平方数为M,则B中存在无穷等比数列2M,4M,8M²……）
于是设,A中有一个数a,那么至少存在无穷多个a^m∈A,（m是大于2的正整数）（否则令A中最大的a^m次方数为a^M,则a^(M+1),a^(M+2),a^(M+3)……∈B,矛盾）
于是令a^m1,a^m2,……a^mn∈A,由于A中不存在等比数列,所以C={m1,m2,……mn}中不存在等差数列；由于B中不存在无穷等比数列,所以N+-C中不存在无穷等差数列.
即能找到N+的一个二分法(A,B)满足1)A中不存在三个成等差数列的数.2)B中不存在无穷等差数列.