某厂花费50万元买回一台机器，这台机器投入生产后每天要付维修费．已知第n（n∈N*）天应付维修费为14（n-1）+500元，机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和平均分摊到每一天

Question

某厂花费50万元买回一台机器，这台机器投入生产后每天要付维修费．已知第n（n∈N^*）天应付维修费为(1)/(4)（n-1）+500元，机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和平均分摊到每一天，叫做每天的平均损耗，当平均损耗达到最小值时，机器应当报废．
（Ⅰ）求前n天维修费用总和；
（Ⅱ）将每天的平均损耗y（元）表示为投产天数n的函数；
（Ⅲ）求机器使用多少天应当报废？

Answer 1

（Ⅰ）设a_n=(1)/(4)（n-1）+500，则{a_n}为等差数列，且首项为500，公差为(1)/(4)…（2分）
所以前n天维修费用总和S_n=(n[500+(1)/(4)(n−1)+500])/(2)=(1)/(8)n2+(3999)/(8)n（n∈N^*）…（4分）
（Ⅱ）y=(1)/(n)（(1)/(8)n2+(3999)/(8)n+500000）=(n)/(8)+(500000)/(n)+(3999)/(8)（n∈N^*） …（9分）
（Ⅲ）∵(n)/(8)+(500000)/(n)≥500，
当且仅当(n)/(8)=(500000)/(n)，即n=2000时，y取到最小值
答：机器使用到2000天时应到报废．                              …（13分）