每一行每一列只有一个元素为1,其余为0,则共有几个这样的行列式

Question

每一行每一列只有一个元素为1,其余为0,则共有几个这样的行列式

Answer 1

总共有n!个,你可以这样理解,在n阶行列式0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
0 0 0 ... 0
... ... ... ...
0 0 0 ... 0 中放置数字1,要求每行每列只能放一个1.
所以,每当你放一个1之后,这个1所在的行和列你就抹掉,根据这种理解方法,步骤如下：
在第一行放1,共有n种放置方法,然后抹去这个1所在的行和列,行列式就变成了n-1阶；
在剩下的n-1阶行列式中,在第一行放置1,共有n-1种放置方法,然后抹去这个1所在的行和列,行列式就变成了n-2阶.
依次放置然后抹去,直到最后为1中放置方法.
所以共有n*（n-1）*（n-2）...2*1 = n!个行列式.