已知函数f(x)=sinπx/2 , 则∑1-2007【f(n)+f"(n)】=?

Question

已知函数f(x)=sinπx/2 , 则∑1-2007【f(n)+f'(n)】=?

Answer 1

f(x)=sinπx/2
f'(x)=π/2*cosπx/2
记an=f(n)+f'(n)
f(n)符合周期规律,T=2π/(π/2)=4
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+.+f(2004)+f(2005)+f(2006)+f(2007)
=0+f(2005)+f(2006)+f(2007)=0
f'(n)也符合周期规律,T=2π/(π/2)=4
f‘(1)+f’(2)+f‘(3)+f’(4)=0
f‘(1)+f’(2)+f‘(3)+f’(4)+.+f‘(2004)+f’(2005)+f‘(2006)+f’(2007)
=0+f‘(2005)+f’(2006)+f‘(2007)
=π/2[0-1+0]
=-π/2
∴∑1-2007【f(n)+f'(n)】
=∑(1-2007)f(n)+(∑1-2007)f'(n)
=0-π/2
=-π/2