如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF．（1）求证：AE=CF；（2）G为CF延长线上一点，连接BG．若BG=5，BC=8，求CG的长．

Question

如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF．
（1）求证：AE=CF；
（2）G为CF延长线上一点，连接BG．若BG=5，BC=8，求CG的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴AB=BC=AC，BE=EF=BF，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠EBF=∠BEF=∠BFE=60°，
∴∠ABC-∠EBD=∠EBF-∠EBD，
∴∠ABE=∠CBF，
在△BAE和△BCF中

AB＝BC

∠ABE＝∠CBF

BE＝BF

，
∴△BAE≌△BCF，
∴AE=CF；

（2）作BH⊥CG于H，
∴∠BHC=∠BHG=90°
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=30°，
∵由（1）知△ABE≌△CBF，
∴∠BCF=∠BAD=30°，
∴BH=(1)/(2)BC=4，在Rt△BHC和Rt△GHB中，由勾股定理，得
∴HC=4√(3)，GH=3，
∴CG=3+4√(3)，
当G在G′时，在Rt△BHG′由勾股定理可以求出
G′H=3，
∴CG′=4√(3)-3，
∴CG的值为：3+4√(3)或4√(3)-3．