特征值相等一定相似吗

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特征值相等一定相似吗

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答案和解析

两个矩阵的特征值相等的时候不一定相似
但当这两个矩阵是实对称矩阵时,有相同的特征值必相似
比如当矩阵A与B的特征值相同,A可对角化,但B不可以对角化时,A和B就不相似
比如如下两个矩阵
1 0 1 1
0 1和 0 1,
显然它们的特征值都是1,1
但是不能对角化,
因为1 1 不能找到两个线性无关的特征向量
0 1
注意n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件就是A有n个线性无关的特征向量,不能只看特征值
所以当这两个矩阵都是实对称矩阵时,都一定可以对角化,于是有相同的特征值就一定相似
这也就是我们的课本上一般只讨论对实对称阵进行对角化的原因,
对一般的矩阵讨论能否对角化比较复杂

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