如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E在AB上,AE=AC,过E点作EF垂直于CE交BC于F点,点D为CF的中点,下列结论(1)EF//AD;(3)若AB=10,AC=6,则CF=3BF;(4)CF/2AC=BE/BC哪些正确并证明.

Question

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E在AB上,AE=AC,过E点作EF垂直于CE交BC于F点,点D为CF的中点,下列结论
(1)EF//AD;(3)若AB=10,AC=6,则CF=3BF;(4)CF/2AC=BE/BC哪些正确并证明.

Answer 1

题中只给出了（1）（3）（4）选项,都是正确的.（2）选项不知为何没有.
证明：
（1）连接ED,AD
∵EF⊥CE,点D为CF的中点
∴ED=CD【直角三角形斜边中线等于斜边一半】
∵AE=AC,AD=AD
∴△AED ≌ △ACD
∴∠EAD=∠CAD
∴AD垂直平分CE【等腰三角形顶角平分线,底边高线,底边中线三线合一】
∴EF//AD
（3）∵AB=10,AC=6,AE=AC
∴EB=4
∵EF//AD
∴AE/EB = DF/FB = 6/4 =3/2
∴2DF/FB = 6/2 =3
即CF/FB =3
即CF=3BF
（4）∵∠ECB+∠ACE=90°,∠CAD+∠ACE=90°
∴∠ECB = ∠CAD = ∠DAB =∠FEB
∴△ECB ∽ △FEB【∠B是公共角】
∴BE/BC = BF/BE = DF/AE = （1/2*CF）/AC = CF/2AC