把一根直径为d的圆木加工成横截面为矩形的横梁，横梁的强度y与横梁截面宽度的一次方及高度的二次方的积成正比；当圆木加工成截面为正方形的横梁时，其强度为9(强度单位)，问

Question

把一根直径为d的圆木加工成横截面为矩形的横梁，横梁的强度y与横梁截面宽度的一次方及高度的二次方的积成正比；当圆木加工成截面为正方形的横梁时，其强度为9 (强度单位)，问如何加工才能使横梁有最大强度?最大的强度为多少?(强度单位)

Answer 1

解法一：设横粱截面的宽为x，高为A，则x2+h2=d2 依题意设：y=kxh2又x=h=d时，y=9．∴k=∴y=f(x)=x(d2-x2)(0＜x＜d)又y′==(d2-3x2)令y′=0得：x=d因f(x)只有一个极值，所以它是最大值，即当横梁宽为d，高为d时，横梁有最大强度，最大强度为8(强度单位)  解法二：y2=x2(d2-x2)2=·2x2(d2-x2)(d2-x2)≤=82×3当且仅当2x2=d2-x2，即x=d时， y2max=82×3，∴ymax=8(强度单位).