如果m是介于12与60之间的整数并且关于x的方程x^2-2(m+1)x+m^2的两个根也是整数,求m的值及这两整数根

Question

如果m是介于12与60之间的整数并且关于x的方程x^2-2(m+1)x+m^2的两个根也是整数,求m的值及这两整数根

Answer 1

x²-2(m+1)x+m²=0
x²-2(m+1)x+(m+1)²-2m-1=0
[x²-2(m+1)x+(m+1)²]-(2m+1)=0
[x-(m+1)]²-(2m+1)=0 （1）
所以要使x²-2(m+1)x+m²=0的两个根是整数,那么2m+1是一个平方数
12≤m≤16
25≤2m+1≤33
2m+1=25
m=12
（1）式化为
(x-13)²-25=0
(x-13)²-5²=0
(x-13+5)(x-13-5)=0
(x-8)(x-18)=0
x1=8,x2=18