关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2n＝0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2＋2ny＋2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正．证明：(1)这两个方程的根都是负根；(2)(m－1)2＋(n－1)2

Question

关于x的一元二次方程x²＋2mx＋2n＝0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y²＋2ny＋2m＝0同样也有两个整数根且乘积为正．证明：

(1)这两个方程的根都是负根；

(2)(m－1)²＋(n－1)²≥2.

Answer 1

∴两个根同号．由根与系数的关系有x₁x₂＝2n＞0，y₁y₂＝2m＞0.
∴y₁＋y₂＝－2n＜0，x₁＋x₂＝－2m＜0.
∴这两个方程的根都为负根．
(2)由根判别式有Δ₁＝4m² ∴m²－2n≥0，n²－2m≥0.
∴(m－1)²＋(n－1)²＝m²－2m＋1＋n²－2n＋1＝(m²－2n)＋(n²－2m)＋2≥2.