如图：⊙M经过O点，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长是方程x2-17x+60=0的两根．（1）求线段OA、OB的长；（2）若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2=CD•CB时，求点C的

Question

如图：⊙M经过O点，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长是方程x²-17x+60=0的两根．
（1）求线段OA、OB的长；
（2）若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC²=CD•CB时，求点C的坐标；
（3）若点C在优弧OA上，作直线BC交x轴于D，是否存在△COB和△CDO相似？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵（x-12）（x-5）=0，
∴x₁=12，x₂=5，
∴OA=12，OB=5；
（2）连接AB、AC、MC，MC与OA交于F，如图1，
∵OC²=CD•CB，即OC：CD=CB：OC，
而∠OCD=∠BCO，
∴△COD∽△CBO，
∴∠2=∠1，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴弧AC=弧OC，
∴MC⊥OA，
∴OF=AF=(1)/(2)OA=6，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙M的直径，
在Rt△AOB中，OA=12，OB=5，
∴AB=√(OB2+OA2)=13，
∴MC=(13)/(2)，
∵MF为△AOB的中位线，
∴MF=(1)/(2)OB=(5)/(2)，
∴FC=MC-MF=4，
∴C点坐标为（6，-4）；
（3）存在．
连接AC，连接CM并延长交OA于F，如图2，
若CA=CO，则∠COA=∠CAO，
∵∠COA+∠COD=180°，∠CAO+∠CBO=180°，
∴∠COD=∠CBD，
而∠OCD=∠DCO，
∴△CBO∽△COD，
∵CA=CO，
∴弧CA=弧CO，
∴CF⊥AC，
由（2）得MF=(5)/(2)，CM=(13)/(2)，OF=6，
∴CF=CM+MF=9，
∴C点坐标为（6，9）．