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设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则（）A．r＞r1B．r＜r1C．r=r1D．r与r1的关系依C而定
题目详情
设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r1，则（ ）
A．r＞r1
B．r＜r1
C．r=r1
D．r与r1的关系依C而定
A．r＞r1
B．r＜r1
C．r=r1
D．r与r1的关系依C而定
▼优质解答
答案和解析
∵C是n阶可逆矩阵
∴C可以表示成若干个初等矩阵之积，即
C=P1P2…Ps，其中Pi（i=1，2，…，s）均为初等矩阵．
而：B=AC，
∴B=AP1P2…Ps，
即B是A经过s次初等列变换后得到的，又初等变换不改变矩阵的秩
∴r（B）=r（AC）=r（A）=r1
故选：C．
∵C是n阶可逆矩阵
∴C可以表示成若干个初等矩阵之积，即
C=P1P2…Ps，其中Pi（i=1，2，…，s）均为初等矩阵．
而：B=AC，
∴B=AP1P2…Ps，
即B是A经过s次初等列变换后得到的，又初等变换不改变矩阵的秩
∴r（B）=r（AC）=r（A）=r1
故选：C．
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