一个数学题过X轴上的动点A(a,0),向抛物线y=x^2+1引两切线,AP,AQ,P,Q为切点,1、若AP,AQ的斜率分别为K1,K2求证.K1K2为定值2、求证,直线PQ过定点.3、若a不等于0,试求三角形APQ的面积/|AQ|为定值请高手帮

Question

一个数学题
过X轴上的动点A(a,0),向抛物线y=x^2+1引两切线,AP,AQ,P,Q为切点,1、若AP,AQ的斜率分别为K1,K2求证.K1K2为定值
2、求证,直线PQ过定点.
3、若a不等于0,试求三角形APQ的面积 /|AQ|为定值 请高手帮忙详细解答,万分感谢

Answer 1

设过A点直线方程为y=Kx-aK,
与抛物线相切,即x＾2＋1=Kx-aK
化为x＾2-Kx＋1＋aK=0 只有一解
则△=0,即K＾2-4（1＋aK）=0 K＾2＋4aK-4=0
解得 K1=[-4a＋√（16a＾2＋16）]/2=-2a+2√（a＾2＋1）
K2=-2a-2√（a＾2＋1）
K1*K2=-4 问题1得证
K1+K2=-4a
x=K/2,将K1 k2代入得x1=K1/2=-a+√（a＾2＋1） x2=K2/2=-a-√（a＾2＋1）
则 x1+x2=（K1＋K2）/2=-2a x1*x2=-1
设切点为P（x1,y1）,Q（x2y2）
PQ方程为 y=[(y2-y1)/(x2-x1)]*x+y1-[(y2-y1)/(x2-x1)]*x1
y=[(x2^2-x1^2)/(x2-x1)]*x+x1^2+1-[(x2^2-x1^2)/(x2-x1)]*x1
y=(x2+x1)*x+x1^2+1-(x2+x1)*x1
y=(x2+x1)*x+x1^2+1-(x2+x1)*x1
y=-2a*x+x1^2+1-x1*x2-x1^2
y=-2a*x+1-x1*x2
y=-2a*x+ 2
此方程即PQ过定点（0,2） 问题2得证
SAPQ=（y1＋y2）（x1-x2）/2-（x1-a）*y1/2-（a-x2）*y2/2
时间不够,下次再解