已知一隧道的截面是一个半椭圆面（如图所示），要保证车辆正常通行，车顶离隧道顶部至少要有0.5米的距离，现有一货车，车宽4米，车高2.5米．（1）若此隧道为单向通行，经测量隧道的

Question

已知一隧道的截面是一个半椭圆面（如图所示），要保证车辆正常通行，车顶离隧道顶部至少要有0.5米的距离，现有一货车，车宽4米，车高2.5米．
（1）若此隧道为单向通行，经测量隧道的跨度是10米，则应如何设计
隧道才能保证此货车正常通行？
（2）圆可以看作是长轴短轴相等的特殊椭圆，类比圆面积公式，请你推测椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的面积公式．并问，当隧道为双向通行（车道间的距离忽略不记）时，要使此货车安全通过，应如何设计隧道，才会使同等隧道长度下开凿的土方量最小？

Answer 1

（1）以长轴所在直线为x轴，建立坐标系，设椭圆方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0）则a=5，椭圆过（2，3），代入可得b=(5√(21))/(7)，
∴隧道顶部离地面至少(5√(21))/(7)米；
（2）椭圆的面积公式为πab，
∵椭圆过点（4，3），∴(16)/(a2)+(9)/(b2)=1≥2√((16×9)/(a2b2))，
当且仅当(16)/(a2)=(9)/(b2)=(1)/(2)时取等号，∴a=4√(2)，b=3

作业帮用户 2017-09-27 举报

问题解析

（1）以长轴所在直线为x轴，建立坐标系，求出椭圆方程，即可求出结论；
（2）利用(16)/(a2)+(9)/(b2)=1≥2√((16×9)/(a2b2))，即可得出结论．

名师点评

本题考点：

椭圆的应用．

考点点评：

本题考查椭圆方程，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．

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