已知函数f（x）=ax3+bx2-c（其中a，b，c均为常数，x∈R）．当x=1时，函数f（x）的极植为-3-c．（1）试确定a，b的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若对于任意x＞0，不等式f（x）≥-2c2恒成立

Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-c（其中a，b，c均为常数，x∈R）．当x=1时，函数f（x）的极植为-3-c．
（1）试确定a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对于任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=ax³+bx²-c，得f'（x）=3ax²+2bx，
当x=1时，f（x）的极值为-3-c，
∴

f′(1)＝0

f(1)＝−3−c

，得

3a+2b＝0

a+b−c＝−3−c

，∴

a＝6

b＝−9

，
∴f（x）=6x³-9x²-c．
（2）∵f（x）=6x³-9x²-c，∴f′（x）=18x²-18x=18x（x-1），
令f′（x）=0，得x=0或x=1．
当x＜0或x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（1，+∞），单调递减区间是[0，1]．
（3）∵f（x）≥-2c²对任意x＞0恒成立，∴-6x³-9x²-c≥-2c²对任意x＞0恒成立，
∵当x=1时，f（x）_min=-3-c，∴-3-c≥-2c²，得2c²-c-3≥0，
∴c≤-1或c≥(3)/(2)．
∴c的取值范围是(−∞，−1]∪[(3)/(2)，+∞)．