直线之间的距离公式例如正方体异面直线的距离d怎么求?

Question

直线之间的距离公式
例如正方体异面直线的距离d怎么求?

Answer 1

一般用平移的方法,不过我比较喜欢用空间向量,不知道你们那有没有教向量法,就举个例子来说吧,正方体ABCD-EFGH,ABCD为上面4个顶点,EFGH为下面4个对应的顶点,棱长为2,P为HG的中点,求异面直线AG与DP的距离?
以顶点E为坐标原点,EF,EH,EA分别为X,Y,Z轴的正方向建立直角坐标系,则点A坐标为（0,0,2）点G为（2,2,0）,向量AG坐标为（2,2,-2）点D（0,2,2）点P（1,2,0）则向量DP为（1,0,-2）
现在设向量n为向量AG和向量DP的法向量（即与AG,DP都垂直的向量）,向量n=（x,y,z）由于向量n与AG,DP都垂直则数量积为0
则有方程x-2z=0,2x+2y-2z=0,根据这两个方程,可得x=2z,y=-z,则向量
n=z（2,-1,1）,然后在所求两条直线上任取两点,就取A,D吧,向量AD=（0,2,0）,接着求向量n与向量AD的数量积的绝对值,等于|-2|=2,最后用绝对值除以法向量n的模,n的模为[4^2+(-1)^2+1^2]^(1/2)=根号6,所以2除以根号6等于3分之根号6,即为最终结果.用这个方法,别说是正方体,一切能建立直角坐标系的几何体都能解,打了这么久,手都打酸了,又是符号又是数字的