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已知函数f(x)=ex(ax+2)(e为自然对数的底数,a∈R为常数).对于函数g(x),h(x),若存在常数k,b,对于任意x∈R,不等式g(x)≤kx+b≤h(x)都成立,则称直线y=kx+b是函数g(x),h(
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已知函数f(x)=ex(ax+2)(e为自然对数的底数,a∈R为常数).对于函数g(x),h(x),若存在常数k,b,对于任意x∈R,不等式g(x)≤kx+b≤h(x)都成立,则称直线y=kx+b是函数g(x),h(x)的分界线.
(Ⅰ)若a=-1,求f(x)的极值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)设a=2,试探究函数g(x)=-x2+4x+2与函数f(x)是否存在“分界线”?若存在,求出分界线方程;若不存在,试说明理由.
(Ⅰ)若a=-1,求f(x)的极值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)设a=2,试探究函数g(x)=-x2+4x+2与函数f(x)是否存在“分界线”?若存在,求出分界线方程;若不存在,试说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)若a=-1,则f(x)=ex(-x+2),
f′(x)=ex(-x+1),
当x>1时,f′(x)<0,函数单调递减,
当x<1,f′(x)>0,函数单调递增,
故当x=1时函数f(x)取得极大值f(1)=e;
(Ⅱ)f′(x)=ex(ax+a+2),
当a>0时,f′(x)>0⇔ax>-a-2,即x>-1-
,
函数f(x)在区间(-1-
,+∞)上是增函数,
由f′(x)<0,得x<-1-
,
在区间(-∞,-1-
)上是减函数;
当a=0时.f′(x)>0,函数f(x)是区间(-∞,+∞)上的增函数;
当a<0时,f′(x)>0⇔ax>-a-2即x<-1-
,
函数f(x)在区间(-∞,-1-
)上是增函数,在区间(-1-
,+∞)上是减函数.
(Ⅲ)当a=2时,f(x)=ex(2x+2),
若存在,g(x)≤kx+b≤h(x)
则-x2+4x+2≤kx+m≤ex(2x+2)恒成立,
令x=0,则2≤m≤2,所以m=2,
因此:kx+2≥-x2+4x+2恒成立,即x2+(k-4)x≥0恒成立,
由△≤0得到(k-4)2≤0:即k=4
现在只要判断ex(2x+2)≥4x+2是否恒成立,
设ϕ(x)=ex(2x+2)-(4x+2),
因为:ϕ′(x)=ex(2x+4)-4,
当x>0时,ex>1,2x+4>4,ϕ′(x)>0,
当x<0时,ex(2x+2)<2ex<2,ϕ′(x)<0,
所以ϕ(x)≥ϕ(0)=0,即ex(2x+2)≥4x+2恒成立,
所以函数f(x)与函数g(x)=-x2+4x+2存在“分界线”.
f′(x)=ex(-x+1),
当x>1时,f′(x)<0,函数单调递减,
当x<1,f′(x)>0,函数单调递增,
故当x=1时函数f(x)取得极大值f(1)=e;
(Ⅱ)f′(x)=ex(ax+a+2),
当a>0时,f′(x)>0⇔ax>-a-2,即x>-1-
2 |
a |
函数f(x)在区间(-1-
2 |
a |
由f′(x)<0,得x<-1-
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a |
在区间(-∞,-1-
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a |
当a=0时.f′(x)>0,函数f(x)是区间(-∞,+∞)上的增函数;
当a<0时,f′(x)>0⇔ax>-a-2即x<-1-
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a |
函数f(x)在区间(-∞,-1-
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a |
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a |
(Ⅲ)当a=2时,f(x)=ex(2x+2),
若存在,g(x)≤kx+b≤h(x)
则-x2+4x+2≤kx+m≤ex(2x+2)恒成立,
令x=0,则2≤m≤2,所以m=2,
因此:kx+2≥-x2+4x+2恒成立,即x2+(k-4)x≥0恒成立,
由△≤0得到(k-4)2≤0:即k=4
现在只要判断ex(2x+2)≥4x+2是否恒成立,
设ϕ(x)=ex(2x+2)-(4x+2),
因为:ϕ′(x)=ex(2x+4)-4,
当x>0时,ex>1,2x+4>4,ϕ′(x)>0,
当x<0时,ex(2x+2)<2ex<2,ϕ′(x)<0,
所以ϕ(x)≥ϕ(0)=0,即ex(2x+2)≥4x+2恒成立,
所以函数f(x)与函数g(x)=-x2+4x+2存在“分界线”.
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