设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间（-1，1]上，f（x）=2x+1，−1＜x＜0ax+2x+1，0≤x≤1，其中常数a∈R，且f（12）=f（32）．（1）求a的值；（2）设函数g（x）=f（x）+f（-x），

Question

设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间（-1，1]上，f（x）=

2x+1 ，  −1＜x＜0   

(ax+2)/(x+1) ，  0≤x≤1   

，其中常数a∈R，且f（(1)/(2)）=f（(3)/(2)）．
（1）求a的值；
（2）设函数g（x）=f（x）+f（-x），x∈[-2，-1]∪[1，2]．
①求证：g（x）是偶函数；
②求函数g（x）的值域．

Answer 1

（1）在区间（-1，1]上，f（x）=

2x+1 ，  −1＜x＜0   

(ax+2)/(x+1) ，  0≤x≤1   

，
则f((1)/(2))＝((a)/(2)+2)/((1)/(2)+1)＝(a+4)/(3)，
由函数f（x）的周期为2，得f((3)/(2))＝f((3)/(2)−2)＝f(−(1)/(2))＝2(−(1)/(2))+1＝0，
∵f((1)/(2))＝f((3)/(2))，∴(a+4)/(3)＝0，a＝−4．
（2）①证明：∵对∀x∈[-2，-1]∪[1，2]，有-x∈[-2，-1]∪[1，2]，
且g（-x）=f（-x）+f（-（-x））=f（-x）+f（x）=g（x），
∴g（x）是偶函数．
②由①知g（x）是偶函数，
所以g（x）的值域与g（x）在[1，2]上的值域相等．
又f（x）=

2x+1，−1＜x＜0

(2−4x)/(1+x)，0≤x≤1

，
则g（1）=f（1）+f（-1）=f（1）+f（-1+2）=2f（1）=-2，
g（2）=f（2）+f（-2）=2f（0）=4，
当1＜x＜2时，-2＜-x＜-1，g（x）=f（x）+f（-x）=f（x-2）+f（-x+2）g(x)＝2(x−2)+1+(−4(2−x)+2)/((2−x)+1)＝2x−(6)/(x−3)−7，
g′(x)＝2+(6)/((x−3)2作业帮用户2017-11-11举报问题解析（1）由分段函数，得f（(1)/(2)），再由周期2，可得f（(3)/(2)）=f（-(1)/(2)），再由条件，解方程即可得到a；（2）①运用偶函数的定义，注意检验定义域是否关于原点对称，即可得证；②由偶函数可知g（x）的值域与g（x）在[1，2]上的值域相等．求出g（x）在[1，2]的解析式，通过导数判断单调性，再求值域．名师点评本题考点：分段函数的应用；函数的周期性．考点点评：本题考查分段函数及运用，考查函数的周期性及应用，函数的奇偶性及单调性和运用，考查运算能力，属于中档题．扫描下载二维码©2020 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)