已知函数f（x）=lnax-x−ax（a≠0）（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值（Ⅱ）求证：对于任意正整数n均有1+12+13+…+1n≥12ln(2e)2n!，其中e为自然对数的底数；（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）

Question

已知函数f（x）=lnax-(x−a)/(x)（a≠0）
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n均有1+(1)/(2)+(1)/(3)+…+(1)/(n)≥(1)/(2)ln((2e)2)/(n!)，其中e为自然对数的底数；
（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由题意f′(x)＝x−ax2．      …（1分）当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，故fmin(x)＝f(a)＝lna2，无最大值...