已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号二,且经过M(-2,0)一求椭圆方程二设斜率为一的直线L与椭圆C相交于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点,连接MA,MB并延长交直线X=4于P,Q两点,Yp,Yq分别是点

Question

已知椭圆C的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号二,且经过M(-2,0)一求椭圆方程二设斜率为一的直线L与椭圆C相交于A(X1,Y1),B(X2,Y2)两点,连接MA,MB并延长交直线X=4于P,Q两点,Yp,Yq分别是点PQ的纵坐标,且Y1分之1加上Y2分之一等于Yp分之一加上Yq分之一,求三角形ABM的面积

Answer 1

将点M(-2,0),代入椭圆C方程,可以得到a=2
离心率e=c/a=√2/2,c=√2
a²=b²+c²,故b=√2
椭圆方程x²/4+y²/2=1
连接MA,MB并延长交直线X=4于P,Q两点,
故(X1-(-2))/(-4-(-2))=Y1/Yp (X2-(-2))/(-4-(-2))=Y2/Yq
由上面两式,加上条件Y1分之1加上Y2分之一等于Yp分之一加上Yq分之一
得：X1Y2+X2Y1=-4(Y1+Y2)
设直线L：y=x+t,代入上式则有2X1X2+(t+4)(X1+X2)+8t=0 （1）
联立直线L方程,与椭圆方程C,可以得到一个一元二次方程3x²+4tx+(2t²-4)=0
即有X1X2=(2t²-4)/3,X1+X2=4t/3,-√6