已知双曲线与直线相交于A、B两点。第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点，过点B作BD∥y轴交x轴于点D，过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C。

Question

已知双曲线 与直线 相交于A、B两点。第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线 上的动点，过点B作BD∥y轴交x轴于点D，过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线 于点E，交BD于点C。

（1）若点D的坐标是（-8，0），求A、B两点坐标及k的值；
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值。

Answer 1

已知双曲线 与直线 相交于A、B两点。第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线 上的动点，过点B作BD∥y轴交x轴于点D，过N（0，-n）作NC∥x轴交双曲线 于点E，交BD于点C。

（1）若点D的坐标是（-8，0），求A、B两点坐标及k的值；
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；
（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值。

（1）∵D（-8，0）， ∴B点的横坐标为-8，代入 中，得y=-2， ∴B点坐标为（-8，-2），而A、B两点关于原点对称， ∴A（8，2）， 从而 。 （2）∵N（0，-n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上， ∴mn=k，B（-2m，- ），C（-2m，-n），E（-m，-n）， S 矩形DCNO =2mn=2k，S △DBO = mn= k，S △OEN = mn= k， ∴S 四边形OBCE = S 矩形DCNO -S △DBO -S△OEN=k， ∴k=4， 由直线 及双曲线 ，得A（4，1），B（-4，-1）， ∴C（-4，-2），M（2，2）， 设直线CM的解析式是y=ax+b，由C、M两点在这条直线上， 得 ，解得： ， ∴直线CM的解析式为 。
（3）如图，分别作AA 1 ⊥x轴，MM 1 ⊥x轴，垂足分别为A 1 、M 1 ， 设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为-a， 于是 ，  同理 ， ∴ 。