某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记an表示第n排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；

Question

某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记a_n表示第n排的座位数．
（1）确定此看台共有多少个座位；
（2）设数列{2ⁿ•a_n}的前20项的和为S₂₀，求log₂S₂₀-log₂20的值．

Answer 1

（1）由题意可得数列{a_n}为等差数列，
首项a₁=2，公差d=1，
∴a_n=2+（n-1）=n+1，（1≤n≤20），
∴由等差数列前n项和公式可知：此看台共有S₂₀=((a1+an)n)/(2)=((2+20+1)20)/(2)=230；
（2）由2ⁿ•a_n=（n+1）•2ⁿ，
数列{2ⁿ•a_n}的前20项和S₂₀=2•2+3•2²+4•2³+…+21•2²⁰，
∴2S₂₀=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+21•2²¹，
两式相减得：-S₂₀=2•2+2²+2³+…+2²⁰-21•2²¹，
=2+(2-221)/(1-2)-21•2²¹，
=-20•2²¹，
∴S₂₀=20•2²¹，
log₂S₂₀-log₂20=log₂20•2²¹-log₂20=log₂20+log₂2²¹-log₂20=21．
∴log₂S₂₀-log₂20=21．