设总体X的密度函数为fx；α，β＝βαβxβ+1x＞α0x≤α，其中α＞0，β＞1为参数，X1，X2，…，Xn是从总体X中抽取的一个简单随机样本．（1）当α=1时，求未知参数β的矩估计量̂βM；（2）当α=1时

Question

设总体X的密度函数为f

x；α，β

＝

(βαβ)/(xβ+1)	x＞α
0	x≤α

，其中

α＞0，β＞1

为参数，

X1，X2，…，Xn

是从总体X中抽取的一个简单随机样本．
（1）当α=1时，求未知参数β的矩估计量

̂

β

M；
（2）当α=1时，求未知参数β的最大似然估计量

̂

β

L．

Answer 1

（1）当α=1时，密度函数为，
f(x；1，β)＝

βx−β−1	x＞1
0	x≤1

所以，
E(X)＝

∫

+∞ −∞

xf

x；α，β

dx＝

∫

+∞ 1

x⋅βx−β−1dx＝β

∫

+∞ 1

x−βdx＝(β)/(β−1)．
解方程：E(X)＝(β)/(β−1)，得β＝(E(X))/(E(X)−1)．
将E（X）替换成

.

X

，得未知参数β的矩估计量为

̂

β

M＝(.X)/(.X−1)
（2）当α=1时，密度函数为f

作业帮用户 2016-12-11 举报

问题解析

首先将EX求出来，用样本均值代替EX，即可得到β的矩估计；其次，构造似然函数，取自然对数，求导，求得参数β的最大似然估计量．

名师点评

本题考点：

最大似然估计法；构造估计量的矩估计法．

考点点评：

此题考查矩估计量和极大似然估计量的求法，采用的常规方法，要熟练掌握．

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