已知AB是半圆O的直径,点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合）,以OC为直径的半圆M与半圆交与点D,∠DCB的角平分线与半圆M交于点E,做EF⊥AB于点F,设EF=a,（1）求半圆O的半径（用含a的代数式表

Question

已知AB是半圆O的直径,点C在BA的延长线上运动（点C 与点A不重合）,以OC为直径的半圆M与半圆交与点D
,∠DCB的角平分线与半圆M交于点E,做EF⊥AB于点F,设EF=a,（1）求半圆O的半径（用含a的代数式表示）
（2）过点E作CB的平行线交CD于点N,当与半圆O相切时,求∠EOC的正切值
M是以OC为直径圆的圆心忙，笨的

Answer 1

1,做E关于AB对称点P,则P在圆M上,且∠ECP=2∠ECO,EF=1/2EP
∵CE是∠DCB的平分线
∴∠DCB=2∠ECO=∠ECP
∴EF=OD=OA=OB
∴EF=1/2OA(或OB)=a
r=2a
2,NA为圆O切线,EF⊥AB,NE∥CB,易知AFEN为矩形
∴NA=EF=1/2OD
△CAN∽△CDO
∴CD/CA=CO/CN=OD/NA=2,CD=2CA,CO=2CN
∵CD切圆O于D
∴CD^2=CA*CB=CA(CA+AB)=CA(CA+2OA)
∴4CA=CA+2OA,CA=2/3OA
∵NE∥CB,CE平分∠DCB
∴∠NEC=∠NCE,NE=CN
∴CO=2CN=2NE=2AF=2(OA-OF)
∴(CA+OA)=2(OA-OF),OF=(OA-CA)/2=1/6OA=1/3EF
∴tan∠EOC=EF/OF=3