如图所示，在传送带的右端Q点固定有一竖直光滑圆弧轨道，轨道的入口与传送带在Q点相切．以传送带的左端点为坐标原点O，水平传送带上表面为x轴建立坐标系，已知传送带长L=6m，匀速运

Question

如图所示，在传送带的右端Q点固定有一竖直光滑圆弧轨道，轨道的入口与传送带在Q点相切．以传送带的左端点为坐标原点O，水平传送带上表面为x轴建立坐标系，已知传送带长L=6m，匀速运动的速度v₀=4m/s．一质量m=1kg的小物块轻轻放在传送带上x_P=2m的P点，小物块随传送带运动到Q点后恰好能冲上光滑圆弧轨道的最高点N点．小物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.4，重力加速度g=10m/s²．

（1）求N点的纵坐标y_N；
（2）若将小物块轻放在传送带上的某些位置，小物块均不脱离圆弧轨道，求传送带上这些位置的横坐标的范围．

Answer 1

（1）在传送带上先做匀加速运动，对小物块，由牛顿第二定律得：μmg=ma
解得：a=4m/s²
小物块与传送带共速时，所用的时间 t=(v0)/(a)=(4)/(4)s=1s，
运动的位移：s=(v0)/(2)t=(4×1)/(2)=2m<L-x_P=4m
故小物块与传送带达到相同速度后以v₀=4m/s的速度匀速运动到Q，然后冲上光滑圆弧轨道恰好到达N点．
在N点，由牛顿第二定律得：mg=m(v2N)/(R)
从Q到N过程，由机械能守恒定律得：
  (1)/(2)mv₀²=mg•2R+(1)/(2)mv_N²，
解得：R=0.32m，则N点的纵坐标：y_N=2R=0.64m；
（2）由（1）可知，当物块从x₁=L-s=4m处释放时，物块到达Q点时恰好与皮带速度相等，
物块恰好通过圆轨道的最高点，则当x≤x₁=4m时，物块不会脱离圆轨道；
设在坐标为x₁处将小物块轻放在传送带上，若刚能到达与圆心等高位置，从释放点到圆心等高位置过程中，由动能定理得：
   μmg（L-x）-mgR=0-0，解得：x₂=5.2m，当x≥5.2m时，物块不会脱离轨道；
故小物块放在传送带上的位置坐标范围为：0≤x≤4m和5.2m≤x<6m；
答：（1）N点的纵坐标为1m；
（2）小物块均能沿光滑圆弧轨道运动（小物块始终在圆弧轨道运动不脱轨）的位置的横坐标范围是：0≤x≤4m和5.2m≤x<6m．