如图所示，在XOY坐标系内有垂直于XOY所在平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B．某时刻有两个粒子P、Q分别从坐标原点O及X轴上的Q点同时开始运动．两粒子带同种电荷，带电量均为q

Question

如图所示，在XOY坐标系内有垂直于XOY所在平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B．某时刻有两个粒子P、Q分别从坐标原点O及X轴上的Q点同时开始运动．两粒子带同种电荷，带电量均为q，质量均为m，P粒子的初速度方向沿X轴负方向，速度大小为V，运动轨迹如图中虚线所示．Q粒子初速度方向是在XOY平面内所有可能的方向，Q点到O点的距离是P粒子轨道半径的1.5倍，两粒子所受重力不计．

（1）两粒子带的是正电还是负电？P粒子运动的轨道半径R是多少？
（2）若两粒子在Y轴上的A点相遇，则Q粒子的速度多大？
（3）若Q粒子的初速度方向竖直向下，则要使两个粒子的轨迹没有交点，Q粒子的速度大小怎样？

Answer 1

（1）由题意可知，粒子P沿顺时针方向做圆周运动，
粒子刚进入磁场时所受洛伦兹力竖直向上，由左手定则，粒子带的是负电；
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m(v2)/(R)，解得：R=(mv)/(qB)；
（2）若在A点相遇，则由题意可知：t_P=t_Q，
又从图中可见P粒子到达A点的时间满足：t_P=kT_P+(1)/(2)T_P，
（T_P为P粒子做圆周运动的周期，k=0、1、2…）   
所以：t_Q=kT_P+(1)/(2)T_P，
又由题两粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，即：T_P=T_Q，
所以：t_Q=kT_Q+(1)/(2)T_Q，
所以题图中的AQ为Q粒子在磁场中做圆周运动的直径，即：|AQ|=2R_Q=2(mvQ)/(qB)，
又|AQ|=√((2RP)2+(1.5RP)2)=2.5R_P=2.5(mv)/(qB)，则：v_Q=1.25v；
（3）由题意可知，要让两个粒子的轨迹不相交，粒子Q的速度可以取小一点，也可取大一点，
先讨论取小一点的情况，如图所示，当粒子Q的轨迹与P粒子的轨迹相切时，v_Q取极值，
由几何知识得：（R+r）sinα+r=1.5R，（R+r）cosα=R，即：r=0.45R，所以：v_Q=0.45v，
再讨论取大一点的情况，如图所示，当粒子Q的轨迹与P粒子的轨迹相切时，v_Q也取极值，
由几何知识得：R²+（r-1.5R）²=（r-R）²，解得：r=2.25R，v_Q=2.25v，
综上，要使两粒子轨迹不相交，Q粒子的速度为：0.45v或2.25v；
答：（1）两粒子带负电，P粒子运动的轨道半径R是(mv)/(qB)；
（2）若两粒子在Y轴上的A点相遇，则Q粒子的速度为1.25v；
（3）若Q粒子的初速度方向竖直向下，则要使两个粒子的轨迹没有交点，Q粒子的速度大小为0.45v或2.25v．