我边防局接到情报，在海礁AB所在直线l的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕．如图，已知快艇出发位置在l的另一侧码头P处，PA=8公里，PB=10公里，∠APB=60°

Question

我边防局接到情报，在海礁AB所在直线l的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕．如图，已知快艇出发位置在l的另一侧码头P处，PA=8公里，PB=10公里，∠APB=60°．

（1）是否存在点M，使快艇沿航线P→A→M或P→B→M的路程相等．如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由．
（2）问走私船在怎样的区域上时，路线P→A→M比路线P→B→M的路程短，请说明理由．

Answer 1

（1）建立如图所示的坐标系，|MA|-|MB|=2，

∴M的轨迹是双曲线的右支，|AB|=√(64+100-80)=2√(21)，
∴a=1，c=√(21)，b2=20，
∴M的轨迹方程是x2-(y2)/(20)=1（x>1，y>0）；
（2）走私船在直线l的左侧，且在（1）中曲线的左侧的区域时，路线P→A→M最短．
理由：设AM的延长线与（1）中曲线交于点N，则PA+AN=PB+BN，
PA+AM=PA+AN-MN=PB+BN-MN<PB+BM．