向量组α1，α2，…，αs（s≥2）线性相关的充要条件是（）A.α1，α2，…，αs中至少有一个零向量B.α1，α2，…，αs中至少有一个部分组线性相关C.α1，α2，…，αs中至少有两个向量成

Question

向量组α₁，α₂，…，α_s（s≥2）线性相关的充要条件是（　　）

A. α₁，α₂，…，α_s中至少有一个零向量

B. α₁，α₂，…，α_s中至少有一个部分组线性相关

C. α₁，α₂，…，α_s中至少有两个向量成比例

D. α₁，α₂，…，α_s中至少有一个向量是其余向量的线性组合

Answer 1

由向量组线性无关，知
①选项A．假设向量组α₁=（1，1），α₂=（2，2），它们显然线性相关，但不含零向量，
故A错误；
②选项B．假设α₁=（1，0，0），α₂=（0，1，0），α₃=（1，1，0），它们线性相关，但是任意部分组线性无关
故B错误；
③选项C．假设α₁=（1，0，0），α₂=（0，1，0），α₃=（1，1，0），它们线性相关，但是它们任意两个向量不成比例
故C错误；
④选项D．若α₁，α₂，…，α_s中至少有一个向量可由其余向量线性表示，不妨设
α₁=k₂α₂+…+k_sα_s，则
α₁-k₂α₂-…-k_sα_s=0
从而向量组α₁，α₂，…，α_s线性相关
反之，若向量组α₁，α₂，…，α_s线性相关，则由定义，存在一组非零实数k_i（i=1，2，…，s），使得
k₁a₁+k₂a₂+…+k_sa_s=0
不妨设k₁≠0，则
a1=-(1)/(k1)(k2a2+…+ksas)
故D正确；
故选：D．