数学三角函数在曲线y＝5sin(arccos(x/3))上求一个点,使它到直线x＋y－10＝0的距离最远,并求出这个最远距离

Question

数学三角函数
在曲线y＝5sin(arccos(x/3))上求一个点,使它到直线x＋y－10＝0的距离最远,并求出这个最远距离

Answer 1

t=arccos(x/3),x∈[－3,3],t∈[－∏/2,∏/2]
cost=x/3
sint=√(1-cost^2)=√(1-x^2/9)
y=5sint=5√(1-x^2/9)
x^2/9+y^2/25=1是个椭圆
即求椭圆上一点到直线的最远距离,提供一下思路：
法1：设与直线平行的椭圆切线方程为x＋y+C＝0,然后联立椭圆方程,判别为0
法2：参数方程,这个比较好做,我写一下这个.
设椭圆参数方程为：x=3cosA,y=5sinA,A∈[0,2∏]（*）
则椭圆上点到直线的距离为：|3cosA+5sinA-10|/√2=|(√34)sin(A+B)-10|/√2(令tanB=3/5)
最远距离是当sin(A+B)=-1时取得的,
则A+B=3∏/2,A=3∏/2-B,由tanB的值,可求出cosA,sinA,代入（*)式,求出的x,y即为所求坐标.
最远距离为：（10+√34）/√2＝自己算吧.
如计算有误请自行验证.