设y=y（x）满足方程y″+4y′+4y=0及初始条件y（0）=0，y′（0）=-4，则广义积分∫+∞0y（x）dx（）A．发散B．等于1C．等于-1D．等于3

Question

设y=y（x）满足方程y″+4y′+4y=0及初始条件y（0）=0，y′（0）=-4，则广义积分

∫

+∞ 0

y（x）dx（　　）

A．发散
B．等于1
C．等于-1
D．等于3

Answer 1

∵y″+4y′+4y=0是齐次线性微分方程，并且它的特征方程为：
r²+4r+4=0，
求得方程的特征根为：r₁=r₂=-2，
∴于是微分方程的通解为：
y＝(C1+C2x)e−2x，其中C₁、C₂是两个待定的常数，
又由初值条件：y（0）=0，y′（0）=-4，得
C₁=0，C₂=-4，
∴y=y（x）=-4xe^-2x
∴

∫

+∞ 0

y(x)dx＝−4

∫

+∞ 0

xe−2xdx
=2

∫

+∞ 0

xde−2x＝2[xe−2x

|

+∞ 0

−

∫

+∞ 0

e−2xdx]
=2[(x+(1)/(2))e−2x

]

+∞ 0

＝−1，
故选：C．