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设y=y（x）满足方程y″+4y′+4y=0及初始条件y（0）=0，y′（0）=-4，则广义积分∫+∞0y（x）dx（）A．发散B．等于1C．等于-1D．等于3
题目详情
设y=y（x）满足方程y″+4y′+4y=0及初始条件y（0）=0，y′（0）=-4，则广义积分
y（x）dx（ ）
A．发散
B．等于1
C．等于-1
D．等于3
| ∫ | +∞ 0 |
A．发散
B．等于1
C．等于-1
D．等于3
▼优质解答
答案和解析
∵y″+4y′+4y=0是齐次线性微分方程，并且它的特征方程为：
r2+4r+4=0，
求得方程的特征根为：r1=r2=-2，
∴于是微分方程的通解为：
y＝(C1+C2x)e−2x，其中C1、C2是两个待定的常数，
又由初值条件：y（0）=0，y′（0）=-4，得
C1=0，C2=-4，
∴y=y（x）=-4xe-2x
∴
y(x)dx＝−4
xe−2xdx
=2
xde−2x＝2[xe−2x
−
e−2xdx]
=2[(x+
)e−2x
＝−1，
故选：C．
∵y″+4y′+4y=0是齐次线性微分方程，并且它的特征方程为：
r2+4r+4=0，
求得方程的特征根为：r1=r2=-2，
∴于是微分方程的通解为：
y＝(C1+C2x)e−2x，其中C1、C2是两个待定的常数，
又由初值条件：y（0）=0，y′（0）=-4，得
C1=0，C2=-4，
∴y=y（x）=-4xe-2x
∴
| ∫ | +∞ 0 |
| ∫ | +∞ 0 |
=2
| ∫ | +∞ 0 |
| | | +∞ 0 |
| ∫ | +∞ 0 |
=2[(x+
| 1 |
| 2 |
| ] | +∞ 0 |
故选：C．
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