对于a1a2属于R都有a1^2+a2^2≥a1a2+a2a1通过类比与归纳的思想方法,从元素的个数或指数上,可以多角度,多层次的推广这个不等式.（1）设a1a2a3属于R+从元素的个数上推广,类比得a1^2+a2^2+a3^3≥a1a2+

Question

对于a1 a2属于R 都有a1^2+a2^2≥a1a2+a2a1通过类比与归纳的思想方法,从元素的个数或指数上,可以多角度,多层次的推广这个不等式.
（1）设a1 a2 a3属于R+ 从元素的个数上推广,类比得a1^2+a2^2+a3^3≥a1a2+a2a3+a3a1;从元素的指数上推广,类比得a1^3+a2^3大于等于a1a2^2+a2a1^2 请证明这两个不等式、
（2）已知不等式：对于正实数a1,a2都有(a1^2+a2^2)/2≥[(a1+a2)/2]^2.情将这个式子推广到一般情况,至少写出3个.不必证明.

Answer 1

(1)(a1-a2)^2+(a2-a3)^2+(a3-a1)^2≥0,展开后整理得：a1^2+a2^2+a3^3≥a1a2+a2a3+a3a1.
(a1^2-a2^2)(a1-a2)≥0 a1^3+a2^3-a1^2a2-a1a2^2≥0.移项得：a1^3+a2^3≥a1^2a2+a1a2^2
(2)(a1^2+a2^2+a3^2)/3≥[(a1+a2+a3)/3]^2
(a1^3+a2^3)/2≥[(a1+a2)/2]^3
(a1^3+a2^3+a3^3)/3≥[(a1+a2+a3)/3]^3