如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．（1）写出y关于x的函

Question

如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．

（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．
（2）当AE为何值时，绿地面积最大？

Answer 1

（1）S_△AEH=S_△CFG=(1)/(2)x²，（1分）
S_△BEF=S_△DGH=(1)/(2)（a-x）（2-x）．（2分）
∴y=S_ABCD-2S_△AEH-2S_△BEF=2a-x²-（a-x）（2-x）=-2x²+（a+2）x．（5分）
由

x＞0

a−x＞0

2−x≥0

a＞2

，得0＜x≤2（6分）
∴y=-2x²+（a+2）x，0＜x≤2（7分）
（2）当(a+2)/(4)＜2，即a＜6时，则x=(a+2)/(4)时，y取最大值((a+2)2)/(8)．（9分）
当(a+2)/(4)≥2，即a≥6时，y=-2x²+（a+2）x，在（0，2]上是增函数，
则x=2时，y取最大值2a-4（11分）
综上所述：当a＜6时，AE=(a+2)/(4)时，绿地面积取最大值((a+2)2)/(8)；
当a≥6时，AE=2时，绿地面积取最大值2a-4（12分）