f(x+y)=f(x)+f(y),求证存在a,使得对所有有理数x,都有f(x)=ax

Question

f(x+y)=f(x)+f(y),求证存在a,使得对所有有理数x,都有f(x)=ax

Answer 1

f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0∴f(0)=f(0)+f(0)所以f(0)=0令y=1∴f(x+1)-f(x)=f(1)∴令a=f(1)即f(x+1)-f(x)=a 说明{f(x)}为等差数列 公差为a 首项为a∴f(x)=a+(x-1)a=ax因此存在a,使得对所有有理数x,都有f(x)=ax....