黎曼函数在无理点的连续性如何证明?

Question

黎曼函数在无理点的连续性如何证明?

Answer 1

在无理点是连续的,在除0,1外的有理点不连续：
先证黎曼函数在0,1点连续.
下证对于任意一个正数a,总存在0的一个邻域{x|0对于邻域中的无理点显然成立.存在整数n使(1/n)n,otherwise,x>=(1/n),从而|f(x)-0|下证对于任意一个正数a,总存在1的一个邻域{x|t对于邻域中的无理点显然成立.存在整数n使(1/n)n,otherwise,x<=((n-1)/n),从而|f(x)-0|再证黎曼函数在所有有理点不连续.
设这个有理数为(p/q),(p,q)=1下证对于任意一个正数a,总存在(p/q)的一个邻域{x|0|(r/s)-(p/q)|
=|(rq-ps)|/|sq|>=1/|sq| => s>(1/qt),f((r/s))=(1/s) |f(x)-0|而f(p/q)=1/p<>0 => 黎曼函数在所有有理点不连续.