问个关于黎曼的问题复变中有个黎曼映射定理,就是那个所谓的边界对应定理,为什么说它是近代几何函数论的起源?还有看见书上说黎曼就是在这个定理的基础上进一步发展了什么黎曼流形和

Question

问个关于黎曼的问题
复变中有个黎曼映射定理,就是那个所谓的边界对应定理,为什么说它是近代几何函数论的起源?还有看见书上说黎曼就是在这个定理的基础上进一步发展了什么黎曼流形和黎曼几何,在定理的存在性证明中又引出了什么正规族的概念,说这个概念对泛函分析和函数空间的理论发展起到了推动作用,泛函和函数空间我知道是什么东西,泛函就是实变函数后面那个东西,它们和黎曼流形和几何有什么关系么?

Answer 1

黎曼在他的博士论文的结尾提出了这个黎曼映射定理.应该说所谓几何函数论的起源还可以追溯到更早的阿贝尔积分和阿贝尔函数的研究,但不论是阿贝尔本人还是雅可比,他们当时都没有一个重要的工具——这是黎曼在上述论文中最早提出的——黎曼面.由于黎曼证明此定理时使用了一个当时有问题的假设,即狄利赫莱原理,他这方面的继任者,如施瓦兹等人不满这个缺点,于是就打算用其他方法证明此定理,这样就促进了几何函数的发展.
下面这种说法有一点点问题,黎曼应该不是由这个定理发展的黎曼流形和黎曼几何,虽然黎曼面是一个一维复流形.黎曼几何是另一个故事了,它起源于黎曼为获得讲师资格在哥廷根做的演讲,主要目的是把高斯在二维曲面上做的微分几何研究推广到高维,并打算哲学地探讨空间问题.
使用正规族证明,如果我记得不错的话可能是F. Riesz的方法,他本人就是泛函分析的创始人之一.这种证明是适用于教程上按照逻辑展开的,和历史无关.正规族在泛函的发展中有一些作用,但事实上正规族并不是为证明此定理由Ascoli等人发明的.反而是黎曼在论文中说某些函数族形成一个联通区域,这是函数空间的雏形.
最后,泛函分析当然在微分几何和黎曼几何里有很大的作用,比如Hodge分解定理是整体微分几何里一个极其重要而基本的定理,它就是用泛函分析证明理解的.