已知复数z=x+yi(x,y属于R)在复平面上的对应点在直线x+2y+4=0上,求|z|的最小值

Question

已知复数z=x+yi(x,y属于R)在复平面上的对应点在直线x+2y+4=0上,求|z|的最小值

Answer 1

一种方法：
|z|表示原点到z的距离.
那么|z|的最小值就是原点到直线x+2y+4=0的最短距离.为原点到直线的垂直距离.
求出过（0,0）且与x+2y+4=0垂直的直线为;y=2x
求的2条直线交点：(-4/5,-8/5)
然后:Min |z| = 4/5 sqrt (5)
另一种：
|z|=sqrt (x^2+y^2)
x=-2y-4代入得：
x^2+y^2=(-2y-4)^2+y^2=5y^2+16y+16
=5（y+8/5)^2+16-64/5=5（y+8/5)^2+16/5
x^2+y^2最小值为16/5
Min |z|=sqrt (16/5)=4/5 sqrt (5)