有一数列,1开一次方,2开2次方,3开3次方,．．．求n开n次方和n+1开n+1次方的大小．

Question

有一数列,1开一次方,2开2次方,3开3次方,．．．求n开n次方和n+1开n+1次方的大小．

Answer 1

n开n次方与n+1开n+1次方,两个正数同时n（n+1）次方
得到n的n+1次方与（n+1）的n次方
n=1时,n的n+1次方为1,（n+1）的n次方为2,故1开一次方<2开2次方
n=2时,n的n+1次方为8,（n+1）的n次方为9,故2开2次方<3开3次方
当n>=3时,n的n+1次方大于（n+1）的n次方
故n=1或2时n开n次方小于n+1开n+1次方
n>=3时,n开n次方大于n+1开n+1次方
实际上可以用求导做
设函数f（x）=y=x开x次方
两边同时取对数,Ln y=Ln（x开x次方）=（Lnx）/x
两边同时对x求导,左边=（1/y）*y’,右边=（1-Lnx）/x平方
可求出导数y’零点为e（自然对数的底）
故在0到e之间,函数单调递增,大于e时,函数单调递减,再比较f（2）与f（3）（这两个自然数处于e两侧,不能用单调性判断）即可得出结论