方程x^2-(2m-1)x+m^2-2=0的两个根都大于1,则m的取值范围为?

Question

方程x^2-(2m-1)x+m^2-2=0的两个根都大于1,则m的取值范围为?

Answer 1

x²-(2m-1)x+m²-2=0
x²-2×[(2m-1)/2]x+[(2m-1)/2]²-[(2m-1)/2]²+m²-2=0
[x-(2m-1)/2]²-m²+m-1/4+m²-2=0
[x-(2m-1)/2]²=(9+4m)/4
x=[2m-1±√(9+4m)]/2
x1=[2m-1+√(9+4m)]/2、x2=[2m-1-√(9+4m)]/2
显然：x2≤x1
令：x2＞1,则x1＞1
[2m-1-√(9+4m)]/2＞1
2m-1-√(9+4m)＞2
2m-3＞√(9+4m)
(2m-3)²＞9+4m
4m²-12m+9＞9+4m
4m²-16m＞0
m(m-4)＞0
解得：m＞4,或：m＜0
另：
若方程的两根分别为x1、x2
由韦达定理,有：
x1+x2=2m-1
(x1)(x2)=m²-2
依题意和已知,有：
2m-1＞1
m²-2＞1
解得：m＞√3
综上所述,m的取值范围是m∈(4,∞).