一道关于高中数列的问题已知数列的前n项和为Sn=a^n-1(a为不为0的实数）,则此数列（c）A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或是等差数列,或是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等

Question

一道关于高中数列的问题
已知数列的前n项和为Sn=a^n-1(a为不为0的实数）,则此数列（c）
A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或是等差数列,或是等比数列 D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列
c是正确的，有没有能推导出来的方法呢
(a^n)-1

Answer 1

有方法的,可以具体求出是等差数列或等比数列的充分条件.
n=1时,S1=a1=a -1
n≥2时,
Sn=a^n -1 S(n-1)=a^(n-1) -1
Sn-S(n-1)=an=a^n -1 -a^(n-1) +1=a^n -a^(n-1)=(a-1)a^(n-1)
n=1时,a1=(a-1)×a^0=a-1,同样满足.
数列{an}的通项公式为an=(a-1)a^(n-1)
a=1时,a1=0,an=0数列是各项均为0的常数数列,也是首项为0,公差为0的等差数列.
a>0且a≠1时
a(n+1)/an=(a-1)a^(n-1)/[(a-1)a^(n-2)]=a,为定值.
数列{an}是以a-1为首项,a为公比的等比数列.
综上,得数列{an}可能是等差数列(a=1时),也可能是等比数列(a>0,且a≠1时),选C.